該結(jié)構(gòu)包含3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)層，層高為3m，其中1~2層為標(biāo)準(zhǔn)層1，3~4層為標(biāo)準(zhǔn)層2，5~6層為標(biāo)準(zhǔn)層3，每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)層由5個(gè)單元組構(gòu)成，包括角柱（JZ）、邊柱（BZ）、中柱（ZZ）、邊梁（BL）和中梁（ZL），總共有15個(gè)單元組，即60維設(shè)計(jì)變量，變量的取值范圍見(jiàn)下表，搜索空間的規(guī)模為5.7×10¹⁰³。

設(shè)計(jì)變量取值范圍

考慮荷載工況為1.3重力荷載代表值（RG）+1.3等效水平地震荷載（EX），RG由4.5kN/m²的恒載與2kN/m²的活載組成，抗震設(shè)防烈度、地面運(yùn)動(dòng)設(shè)計(jì)特征周期、峰值地面加速度及阻尼比分別為6度、0.35秒、0.018g和0.04。鋼材的密度為7850kg/m³，彈性模量為206GPa。在優(yōu)化中，同樣考慮基于約束的策略（見(jiàn)下圖）。

基于約束的策略

采用5種算法（包括SA、DBAGA、PSO、MPGA、MPPSO）對(duì)空間鋼框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，各進(jìn)行20次優(yōu)化，在優(yōu)化過(guò)程中，各算法的參數(shù)設(shè)置保持不變。為了探討多種群協(xié)同策略對(duì)提升算法性能的影響，SA、DBAGA和PSO采用最基礎(chǔ)且常用的參數(shù)設(shè)置。對(duì)于MPGA和MPPSO，多種群機(jī)制允許設(shè)置可變參數(shù)范圍，隨機(jī)生成多個(gè)參數(shù)不同的優(yōu)化器，這些優(yōu)化器可通過(guò)信息共享彌補(bǔ)性能差異，因此，涉及兩類參數(shù)：（1）基礎(chǔ)優(yōu)化器相關(guān)參數(shù)，在給定范圍內(nèi)隨機(jī)選取以確保多并行優(yōu)化器具有不同參數(shù)設(shè)置；（2）與多種群協(xié)作策略相關(guān)的固定參數(shù)。眾所周知，群體規(guī)模增大雖能提升算法性能，但需消耗更多計(jì)算資源。SA、DBAGA和APSO的參數(shù)通過(guò)試錯(cuò)法確定以獲得最佳性能，而MPGA和MPPSO的參數(shù)則通過(guò)設(shè)定范圍來(lái)定義，見(jiàn)下表。

算法參數(shù)設(shè)置

為充分展現(xiàn)多種群機(jī)制的卓越性能提升效果，MPGA與MPPSO的群體規(guī)模設(shè)定為較小的50，移民算子均設(shè)置為每1次迭代后進(jìn)行相應(yīng)操作，子種群均設(shè)置為5個(gè)且每個(gè)子種群10個(gè)個(gè)體。其余算法因試算后發(fā)現(xiàn)，種群規(guī)模設(shè)置較小時(shí)會(huì)出現(xiàn)過(guò)早收斂情況且優(yōu)化結(jié)果不理想，故均設(shè)置為100。

下圖和不同算法的優(yōu)化結(jié)果表展示了采用不同算法對(duì)空間鋼框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化的結(jié)果。

由于該問(wèn)題較平面框架更為復(fù)雜，SA和DBAGA得到的解有80%為不可行解，即不滿足約束條件，這兩種算法的平均成本分別達(dá)到192.8t和162.5t，且由優(yōu)化曲線可見(jiàn)，其搜索過(guò)程存在過(guò)早收斂現(xiàn)象。與DBAGA相比，采用多種群協(xié)作策略的MPGA在所有優(yōu)化中均獲得可行解，且具有良好的收斂性，平均成本顯著降低至43.1t。在粒子群算法中，因其粒子間的學(xué)習(xí)行為，展現(xiàn)出優(yōu)于其他算法的搜索能力和更佳成本表現(xiàn)。與MPGA相比，PSO的平均成本和標(biāo)準(zhǔn)差分別降低了27.6%和74.6%，MPPSO的最優(yōu)解為24.7t，在所有算法中最低，比PSO低10.2%。結(jié)果表明，分段均值學(xué)習(xí)策略使GP能夠基于結(jié)構(gòu)構(gòu)件層級(jí)從EP的多個(gè)粒子中學(xué)習(xí)到更好的迭代方向，多種群策略提供了并行優(yōu)化和信息交換機(jī)制，對(duì)算法的全局與局部搜索能力有顯著提升。

不同算法得到的最優(yōu)結(jié)果在結(jié)構(gòu)性能上存在差異，見(jiàn)下圖。

不同算法的最優(yōu)解計(jì)算結(jié)果

總體而言，與其他算法相比，MPPSO算法得到的最優(yōu)結(jié)構(gòu)，其所有性能指標(biāo)均更接近極限值，這表明在材料有限的情況下，該算法能最大化材料利用率，體現(xiàn)出最好的經(jīng)濟(jì)性優(yōu)勢(shì)。超過(guò)半數(shù)的構(gòu)件應(yīng)力值超過(guò)屈服強(qiáng)度的74.5%，86.7%以上的構(gòu)件穩(wěn)定性值達(dá)到0.8，結(jié)構(gòu)最大層間位移角為0.0037，逼近1/250的極限值。這主要來(lái)源于多種群機(jī)制的影響，通過(guò)設(shè)置不同性能參數(shù)的優(yōu)化器，更有利于搜索到最優(yōu)解，這個(gè)現(xiàn)象在MPGA中也可觀察到，多種群策略使其性能亦優(yōu)于DBAGA。此外，MPPSO在空間鋼框架優(yōu)化問(wèn)題中具有較低的計(jì)算成本，平均僅需5597次分析，分別比MPGA和PSO低10.3%和59.6%。

本節(jié)將對(duì)MPPSO中與多種群協(xié)作策略相關(guān)參數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響進(jìn)行討論。在多種群策略中，獨(dú)立優(yōu)化器與移民機(jī)制是兩個(gè)關(guān)鍵概念，對(duì)算法性能具有顯著影響。在獨(dú)立優(yōu)化器方面，基于粒子群算法的優(yōu)化器具有更優(yōu)的性能，憑借粒子間的學(xué)習(xí)行為及分段均值學(xué)習(xí)策略，該優(yōu)化器展現(xiàn)出優(yōu)異的搜索能力，包括收斂性與最優(yōu)目標(biāo)獲取能力，其有效性已在得到驗(yàn)證。因此，在本節(jié)中僅針對(duì)基于PSO優(yōu)化器的多種群優(yōu)化算法進(jìn)行討論，由于優(yōu)化結(jié)果高度依賴算法初始參數(shù)設(shè)置，PSO獨(dú)立優(yōu)化器中的參數(shù)均設(shè)定參數(shù)范圍以緩解此問(wèn)題。相比之下，在移民機(jī)制方面，這呈現(xiàn)出更具關(guān)鍵性的影響，即進(jìn)化過(guò)程中多種群之間的信息交換，優(yōu)質(zhì)解能在種群之間進(jìn)行共享，這直接關(guān)系到優(yōu)化過(guò)程的收斂速度與結(jié)果質(zhì)量。諸多因素（如移民間隔與子種群數(shù)量）對(duì)優(yōu)化性能影響顯著，為確定這些參數(shù)的最佳設(shè)置，給出算法參數(shù)的建議取值，本節(jié)采用空間鋼框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題（見(jiàn)圖-空間鋼框架結(jié)構(gòu)的有限元模型），通過(guò)優(yōu)化指標(biāo)討論移民機(jī)制相關(guān)參數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，優(yōu)化結(jié)果見(jiàn)下圖和下表。

1. 移民間隔

移民間隔t_m是兩次移民操作之間的迭代步長(zhǎng)。在案例分析中，移民間隔設(shè)為1，本節(jié)測(cè)試了5和10兩個(gè)不同移民間隔取值對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，算法參數(shù)設(shè)置表中列出的其他參數(shù)保持不變。由此可見(jiàn)，當(dāng)t_m=10時(shí)平均需要進(jìn)行3618次分析，少于其他兩種情況。結(jié)果表明，采用的較大移民間隔，會(huì)導(dǎo)致優(yōu)化過(guò)早收斂。當(dāng)?shù)催_(dá)到移民間隔時(shí)，獨(dú)立優(yōu)化器將依據(jù)其預(yù)設(shè)模式進(jìn)行優(yōu)化，且不進(jìn)行信息交換，而較大的移民間隔取值使算法搜索過(guò)程的隨機(jī)性增強(qiáng)，容易陷入局部最優(yōu)解，即移民機(jī)制失效，MPPSO性能與獨(dú)立優(yōu)化器PSO相近。反之，當(dāng)采用較小的移民間隔時(shí)優(yōu)化效果更佳，最優(yōu)解、最劣解、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差4項(xiàng)成本指標(biāo)均顯著降低。如，案例t_m=1的最優(yōu)成本與標(biāo)準(zhǔn)差分別比案例t_m=10小3.5%和61.7%。這是因?yàn)檩^小的移民間隔促進(jìn)了信息交換，使優(yōu)質(zhì)粒子能在子種群之間及時(shí)傳播，引導(dǎo)其他粒子的演化方向趨于更優(yōu)解，有助于提升結(jié)果質(zhì)量并加速算法收斂。綜合考慮優(yōu)化結(jié)構(gòu)的經(jīng)濟(jì)因素與優(yōu)化問(wèn)題的計(jì)算成本，建議采用移民間隔為5。

2. 子種群數(shù)量

子種群數(shù)量mp代表獨(dú)立優(yōu)化器的個(gè)數(shù)，即不同參數(shù)和不同性能的優(yōu)化器個(gè)數(shù)。在案例分析中，采用子種群數(shù)量為5，本節(jié)測(cè)試了8和3兩個(gè)不同子種群數(shù)量對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，算法參數(shù)設(shè)置表中列出的其他參數(shù)保持不變。由此可見(jiàn)，當(dāng)案例mp=8時(shí)，成本指標(biāo)總體優(yōu)于其他情況，例如，優(yōu)化曲線和標(biāo)準(zhǔn)差均表明在20次運(yùn)行中優(yōu)化結(jié)果的離散性更小。與案例mp=3相比，最優(yōu)成本和平均成本分別降低了7.8%和12.3%。這是因?yàn)檩^大的粒子數(shù)量增加了種群的多樣性，使其在可行區(qū)域內(nèi)的搜索更充分，更可能尋找到全局最優(yōu)解，從而避免過(guò)早收斂問(wèn)題。因此，當(dāng)使用較大的子種群數(shù)量時(shí)，算法的性能更優(yōu)。此外，與案例mp=5相比，案例mp=8的成本指標(biāo)極為接近，但20次分析的平均成本高出8.7%。綜合考慮優(yōu)化結(jié)構(gòu)的經(jīng)濟(jì)因素與優(yōu)化問(wèn)題的計(jì)算成本，建議采用子種群數(shù)量為5。

以結(jié)構(gòu)的材料用量最小化為目標(biāo)，通過(guò)罰函數(shù)法同時(shí)考慮多種結(jié)構(gòu)約束條件，以基礎(chǔ)啟發(fā)式算法為基礎(chǔ)，結(jié)合鋼框架結(jié)構(gòu)的特征，建立了結(jié)構(gòu)的自動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程。為降低單次運(yùn)行結(jié)果的隨機(jī)性，通過(guò)多種策略對(duì)算法進(jìn)行了改進(jìn)，定義了具有不同參數(shù)設(shè)置的多個(gè)種群，引入種群協(xié)作思想，構(gòu)建了信息共享機(jī)制以擴(kuò)展算法探索能力，驗(yàn)證了多種群優(yōu)化算法在鋼框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題中的有效性，主要結(jié)論如下：

1. 通過(guò)有限元軟件完成結(jié)構(gòu)的參數(shù)化建模與力學(xué)分析，通過(guò)Python二次開(kāi)發(fā)搭建了優(yōu)化算法框架，完成了對(duì)結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行自動(dòng)提取和整理，由此得到了個(gè)體的適應(yīng)度并進(jìn)行迭代優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的反復(fù)計(jì)算分析和自動(dòng)尋優(yōu)過(guò)程。

2. 在平面鋼框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題中，與GA相比，DBAGA由于引入了基于方向的交叉算子、非均勻變異算子和重復(fù)項(xiàng)替代機(jī)制，有效地提高了算法的局部搜索能力，但其優(yōu)化結(jié)果無(wú)法滿足所有的約束條件。基于多種群思想的遺傳算法通過(guò)設(shè)置多個(gè)不同參數(shù)的子種群和移民算子，建立起子種群之間的聯(lián)系，降低了單種群遺傳算法對(duì)參數(shù)設(shè)置的依賴性，有效地改善了其隨機(jī)性較強(qiáng)的問(wèn)題，提高了算法的魯棒性。DMPGA的局部搜索能力得到了較大的改善，優(yōu)化結(jié)果的最優(yōu)解為13.27t，比GA、DBAGA、MPGA的結(jié)果分別低32.8%、32.1%、27.3%。

3.在空間鋼框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題中，與其他算法相比，MPPSO具有較好的魯棒性，所需的收斂分析次數(shù)更少，從而降低了計(jì)算成本，分別比MPGA和PSO低10.3%和59.6%，且得到的最優(yōu)解更具效率和效能。結(jié)果表明，該方法能夠處理大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)優(yōu)秀的結(jié)構(gòu)性能，滿足設(shè)計(jì)規(guī)范要求。在使用過(guò)程中，建議采用移民間隔為5、子種群數(shù)量為5。

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